通過(guò)傅里葉函數(shù)方法分析電源模塊輸出端紋波

電子產(chǎn)品設(shè)計(jì)日益輕薄，使得電源模塊亦須提升切換頻率以縮小體積。藉由傅里葉級(jí)數(shù)頻域分析，研發(fā)人員將可掌握切換式降壓轉(zhuǎn)換器電源模塊輸出端漣波變化量，從而搭配最適合的電感和電容，使電路板尺寸與能源效率達(dá)到最佳設(shè)計(jì)。
電子3C產(chǎn)品功能愈來(lái)愈豐富且IC制程的進(jìn)化趨向于低壓大電流，使得芯片對(duì)電源的漣波及噪聲（RippleNoise）要求更為嚴(yán)謹(jǐn)。數(shù)字產(chǎn)品強(qiáng)調(diào)輕薄，相對(duì)地，電源模塊為符合此要求勢(shì)必提升切換頻率以縮小外部零件體積。高頻漣波與噪聲對(duì)數(shù)字電路信號(hào)的影響勢(shì)必嚴(yán)重，尤其是影音（Video/Audio）信號(hào)及差動(dòng)對(duì)數(shù)據(jù)傳輸信號(hào)（DifferentialPairSignal）。
基于此因素，本文將以傅里葉函數(shù)（FourierSeriesExpansion）方式來(lái)探討同步交換式降壓轉(zhuǎn)換器（SynchronousStepDownConverter）輸出電壓紋波的波形，并依電容完整等效串聯(lián)電阻（ESR）、等效串聯(lián)電感（ESL）、電容值（Capacitance）對(duì)應(yīng)的公式，經(jīng)由理論推導(dǎo)，有效地分析電源模塊輸出端紋波成分。
同步降壓交換式轉(zhuǎn)換器電路分析
同步降壓交換式電源轉(zhuǎn)換器的應(yīng)用電路如圖1所示，系統(tǒng)工作原理是藉由交錯(cuò)式切換HighSide（Q1）/LowSide（Q2）金屬氧化物場(chǎng)效晶體管（MOSFET）（上、下橋晶體管），將輸入能量轉(zhuǎn)換成輸出端適當(dāng)電壓以提供到負(fù)載側(cè)。系統(tǒng)關(guān)鍵性被動(dòng)組件電感及輸出電容組成的低通濾波器（LowPassFilter），用于傳送與儲(chǔ)存能量并濾除交流成分，讓輸出電壓成為平順的準(zhǔn)直流需求。
通過(guò)傅里葉函數(shù)方法分析電源模塊輸出端紋波
通過(guò)傅里葉函數(shù)方法分析電源模塊輸出端紋波
圖1同步降壓轉(zhuǎn)換器應(yīng)用電路
在常規(guī)技術(shù)的認(rèn)知下，當(dāng)切換頻率愈快，即可得到較小的輸出紋波，若以流經(jīng)電感電流乘上輸出電容的等效串聯(lián)電阻來(lái)估算峰值紋波電壓是可得到近似數(shù)據(jù)，但與實(shí)際的輸出紋波波形有程度上的誤差，因此必須考慮電容完整的等效電路特性，便可獲得正確的解答。
在切換式降壓轉(zhuǎn)換器中，電感電流會(huì)對(duì)電容充電或放電，因此所有的紋波電流都會(huì)流經(jīng)電容使得輸出到負(fù)載的電壓為穩(wěn)定的直流電壓Vo。然而，實(shí)際情形不是如此，因?yàn)閷?shí)際電容除了本身電容值外，還包含等效串聯(lián)電阻與等效串聯(lián)電感參數(shù)特性，讓輸出紋波電壓（RippleVoltage）ΔVo大于默認(rèn)值，因此欲得到正確的輸出紋波，則須將如圖1所示完整的電容等效電路加以說(shuō)明。
其中，Cap全稱為Capacitance，意思是電容值，其為電容最主要的參數(shù)，應(yīng)用于電路穩(wěn)壓，補(bǔ)償或?yàn)V噪聲之用，可用電容公式來(lái)表示其特性，亦即Q=C·Vc或

而ESR（EquivalentSeriesResistance）為等效串聯(lián)電阻，其為電容能量損耗及紋波的來(lái)源，可用歐姆定律來(lái)表示其特性，亦即

至于ESL（EquivalentSeriesInductance），表示等效串聯(lián)電感，可用電感微分公式來(lái)表示其特性，公式為

。其感抗正比于頻率，在低頻時(shí)其感抗低，不易觀測(cè)到其作用，但在頻率較高時(shí)，其感抗增加，會(huì)降低電容穩(wěn)壓濾波的功能。另外要補(bǔ)充的是，I為ILA.C成分，也就是電感電流的交流成分。
一般而言，在穩(wěn)態(tài)（SteadyState）及負(fù)載固定時(shí)，輸出電容的紋波電壓主要是由電感的紋波電流造成，可先計(jì)算出電感的紋波電流，再利用歐姆定律，電感微分公式及電容電荷儲(chǔ)存公式，分別計(jì)算出ESR、ESL及Capacitance的紋波電壓。再將此三種紋波加總起來(lái)，便可得輸出電容的紋波電壓，如公式1所示：

。..。..公式1
電感電流函數(shù)IL（t）可由公式2求得，其波形如圖2所示。在Ton時(shí)（上橋MOSFET導(dǎo)通），輸入電源VCC供應(yīng)能量到負(fù)載端且電感組件儲(chǔ)存磁能（電感電流為線性遞增），依據(jù)法拉第定律（Faraday‘sLaw）：

，將可得到導(dǎo)通周期（On-timeDuty）電感電流斜率：

圖2（A）LX的波形；（B）電感電流的波形；（C）輸出紋波波形

。..。..公式2
在Toff時(shí)（下橋MOSFET導(dǎo)通），電感釋放能量到負(fù)載（電感電流為線性遞減）；其關(guān)斷周期（Off-timeDuty）電感電流斜率如公式3所示：

。..。..公式3
應(yīng)用傅里葉函數(shù)頻域分析輸出紋波波形
依傅里葉級(jí)數(shù)展開任意周期性函數(shù)可得到頻率信號(hào)的幅度，也代表著信號(hào)在不同頻率分量成分的大小。頻域分析是以輸入信號(hào)的頻率為變量，并能夠提供比時(shí)域（TimeDomain）信號(hào)波形更直觀且包含頻率、振幅和相位信息。相對(duì)的傅里葉變換（FourierTransform）可將頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換成時(shí)域的穩(wěn)態(tài)輸出紋波Vo。因此，傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的優(yōu)點(diǎn)是可讓分析者依所提供的任意輸入波形，容易得到輸出紋波波形。
周期T傅里葉級(jí)數(shù)為：

傅里葉系數(shù)則是：

ak及bk是共軛復(fù)數(shù)。
等效電感阻抗包含ZESR、ZESL、ZCo，計(jì)算方式如下所示：

而LX電壓波形使用傅里葉級(jí)數(shù)展開，表示如下：

因此，ESRRipple傅里葉級(jí)數(shù)展開如下所示：

ESLRipple傅里葉級(jí)數(shù)展開如下所示：

CapRipple傅里葉級(jí)數(shù)展開如下所示：

VoRipple傅里葉級(jí)數(shù)展開如下所示：

應(yīng)用傅里葉變換數(shù)值分析輸出電壓紋波
在處理信號(hào)時(shí)，常藉由傅里葉變換來(lái)取得信號(hào)所對(duì)應(yīng)的頻譜，然后再由頻譜來(lái)讀取信號(hào)的參數(shù)。但由于所做的計(jì)算量過(guò)于龐大，當(dāng)處理大量的數(shù)據(jù)時(shí)，則需要快速計(jì)算的算法，因而衍生出快速傅里葉變換（FastFourierTransform，F(xiàn)FT）?？焖俑道锶~變換大幅提高了頻譜的計(jì)算速度。
快速傅里葉變換的使用條件包括：信號(hào)必須是周期性的、取樣周期必須為信號(hào)周期的整數(shù)倍、采樣率（SamplingRate）必須高于信號(hào)最高頻率的兩倍以上、取樣點(diǎn)數(shù)N必須為2k個(gè)數(shù)據(jù)。
快速傅里葉變換原理的表示法，則如下所示：

舉例來(lái)說(shuō)，當(dāng)切換頻率（fsw）為1050kHz的降壓電路，輸入電壓為Vin=3.3伏特（V），Vo=1.8伏特，L=2.7微亨（μH），Co=10微法（μF），ESR=4毫奧姆（mΩ），ESL=1.1奈亨（nH），fsw=280kHz。其實(shí)際量測(cè)的輸出電壓紋波、LX及電感紋波電流如圖3所示。若給予任意輸入波形，由傅里葉級(jí)數(shù)分析方法可得到對(duì)應(yīng)的輸出紋波，利用此方法提供一個(gè)快速有效的方式，可分析計(jì)算輸入任意周期波的輸出紋波。

圖3快速傅里葉變換模擬波形與實(shí)際量測(cè)波形
應(yīng)用時(shí)域分析輸出紋波波形
時(shí)域分析是以時(shí)間函數(shù)（TimeFunction）表示信號(hào)之特性，依據(jù)時(shí)間及振幅所組成之坐標(biāo)平面來(lái)呈現(xiàn)出任何信號(hào)波形隨時(shí)間變化的瞬間物理量。時(shí)域分析輸出電壓紋波說(shuō)明如下：

選擇適當(dāng)電感/電容值讓設(shè)計(jì)優(yōu)化
本文提供了傅里葉級(jí)數(shù)頻域分析，其特色就是無(wú)須求解復(fù)雜的微分公式并與時(shí)域分析相對(duì)應(yīng)，充分驗(yàn)證理論推導(dǎo)及實(shí)際量測(cè)波形的對(duì)比。目的是想以較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)妮敵鲭娙莸刃щ娐穪?lái)分析交換式降壓轉(zhuǎn)換器輸出紋波電壓。
經(jīng)由上述論證可得知，電容的等效串聯(lián)電阻、等效串聯(lián)電感及電容值等特性均會(huì)影響輸出紋波振幅及相位，并利用基本的奧姆定律、電感的微分公式推導(dǎo)電感與電流紋波變化，及電容器依據(jù)操作頻率充/放電荷以維持輸出電位穩(wěn)定。
將上述三種影響紋波因素波形（等效串聯(lián)電阻、等效串聯(lián)電感及電容值）線性迭加，便可得到完整的輸出紋波波形。透過(guò)此方法，可使研發(fā)工程師在設(shè)計(jì)切換式降壓轉(zhuǎn)換器電源時(shí)，根據(jù)電源需求及紋波允許變化量規(guī)格來(lái)選擇適當(dāng)?shù)碾姼泻碗娙葜?，使其設(shè)計(jì)達(dá)到優(yōu)化。